RMS-amplituden, Homogenitet och Additivitet

Nu kommer jag skriva om signalteori:

RMS-amplituden för en varierande signal är lika med värdet av en konstant signal som i medeltal ger samma energi.
Signalens effekt är proportionell mot signalen i kvadrat. I exemplet är signalen periodisk så vi behöver bara mäta energin under precis en period. Vi mäter signalens energiutveckling genom att mäta dess värde i några tidpunkter under perioden. (I detta enkla exempel ser vi att de sex markerade punkterna räcker för att ge ett rättvist medelvärde. Signalen är negativ under precis dubbelt så lång tid som den är positiv, och vi har precis dubbelt så många punkter under signalens negativa del som under den positiva. För en signal som varierar på ett komplicerat sätt måste man förstås mäta i många fler punkter, i princip oändligt tätt.)

Vad är linjaritet?

I kapitel 4 i boken "Signal and Systems for Speech and Hearing" på sidorna har vi sett definitionen på linjaritet. Jag skall kort repetera den här. För att vi skall kunna kalla ett system för linjärt måste två villkor uppfyllas:

Homogenitet (eng. homogeneity)

 Homogenitet innebär att ljudtrycket ut är direkt proportionellt mot ljudtrycket in. Om man multiplicerar ljudtrycket in uttryckt i enheten Pascal, med ett godtyckligt tal så måste också ljudtrycket ut, uttryckt i enheten Pascal, multipliceras med samma faktor. Då addition av ljudnivåer uttryckt i decibelform är samma sak som multiplikation av ljudtrycken uttryckta i Pascal innebär det att homogenitet-kravet uppfylls om innivån uttryckt i dBrel. 20 µPa ökas med ett godtyckligt tal, så skall också utnivån öka med samma tal.

Figuren visar att ljudtryck utm funktion av ljudtryck in vid 1 och 2 gångers förstärkning.

När vi använder ljudtrycksvärdena ser vi att alla punkter ligger längs en rät linje som passerar origo. Homogenitetskravet är uppfyllt. Lutningen på linjen anger förstärkningen. Ju större lutning desto högre förstärkning.

Figuren visar; utnivån som funktion av innivån vid 0 dB och 6 dB förstärkning.

Om vi istället använder decibel-värdena måste dessa också ligga längs en rät linje. Denna behöver dock inte passera genom origo utan utnivån vid 0 dB innivå anger förstärkningen. Här måste dock lutningen på linjen vara sådan att en förändring av innivån, uttryckt i dB rel. 20 µPa, måste motsvaras av en lika stor förändring av utnivån, uttryckt i dB rel. 20 µPa

Additivitet (eng. additivity)

Det andra villkoret som måste uppfyllas för att ett system skall vara linjärt är att det är additivt. Additivitet innebär att utsignalen som skapas av summan av två eller flera insignaler är identisk med summan av utsignalerna som erhålls om insignalerna passerar var för sig genom systemet. Om vi adderar insignalerna och sedan låter dem passera ett system får vi samma resultat som vi skulle fått om vi tar varje insignal för sig och låter dem passera systemet och sedan adderar utsignalerna.